多元函数如何判断可微

在微积分学中，可微是一个非常重要的概念。对于单变量函数，我们可以通过求导来判断其是否可微。但是对于多元函数，情况就会变得复杂起来。本文将介绍多元函数如何判断可微。

首先，我们需要了解什么是偏导数。对于一个多元函数 $f(x_1,x_2,...,x_n)$，它的偏导数 $\\frac{\\partial f}{\\partial x_i}$ 表示在其他自变量不变的情况下，函数 $f$ 对于自变量 $x_i$ 的变化率。如果一个函数在某一点处所有偏导数都存在，那么我们称这个函数在该点处是偏导数存在的。

接下来，我们需要了解什么是全微分。对于一个多元函数 $f(x_1,x_2,...,x_n)$，如果在某一点处存在一个线性函数 $L(x_1,x_2,...,x_n)$，使得当自变量 $(\\Delta x_1,\\Delta x_2,...,\\Delta x_n)$ 趋近于 $(0,0,...,0)$ 时，有以下近似式成立：

$$f(x_1+\\Delta x_1,x_2+\\Delta x_2,...,x_n+\\Delta x_n) - f(x_1,x_2,...,x_n) \\approx L(\\Delta x_1,\\Delta x_2,...,\\Delta x_n)$$

那么我们称函数 $f$ 在该点处是可微的，并且 $L$ 就是 $f$ 在该点处的全微分。需要注意的是，全微分是一个线性函数，它可以表示为：

$$L(x_1,x_2,...,x_n) = \\sum_{i=1}^n \\frac{\\partial f}{\\partial x_i}(x_1,x_2,...,x_n) \\Delta x_i$$

现在我们可以得到一个结论：如果一个函数在某一点处可微，那么它在该点处偏导数存在。但是反过来并不一定成立，也就是说，偏导数存在并不意味着函数可微。下面我们将介绍一个例子来说明这一点。

考虑函数 $f(x,y) = \\begin{cases} \\frac{xy}{x^2+y^2}, & (x,y) \\neq (0,0) \\\\ 0, & (x,y) = (0,0) \\end{cases}$。我们可以计算出它的偏导数：

$$\\frac{\\partial f}{\\partial x}(0,0) = \\lim_{h\\to 0} \\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} = 0$$

$$\\frac{\\partial f}{\\partial y}(0,0) = \\lim_{h\\to 0} \\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h} = 0$$

因此，$f$ 在原点处的偏导数存在。但是我们可以证明 $f$ 在原点处不可微。具体来说，我们可以考虑函数在直线 $y=x$ 上的取值：

$$f(x,x) = \\frac{x^2}{2x^2} = \\frac{1}{2}$$

然而，如果我们沿着直线 $y=x$ 逼近原点，那么函数的取值会趋近于 $0$，与直线 $y=x$ 上的取值不同。因此，$f$ 在原点处不满足可微的条件。

综上所述，对于多元函数，我们需要判断它在某一点处的偏导数是否存在，并且需要判断它在该点处是否满足可微的条件。如果偏导数存在但是不满足可微的条件，那么函数在该点处不可微。jiikii.com - 即刻导航 】