复合函数如何求导

复合函数是高等数学中的一个重要概念，它是由两个或多个函数组合而成的新函数。在实际应用中，复合函数的求导是非常常见的问题。本文将介绍复合函数如何求导。

首先，我们需要了解复合函数的定义。设有函数f(x)和g(x)，则它们的复合函数为f(g(x))，即先对x进行g(x)的运算，再对结果进行f(x)的运算。例如，若f(x)=x^2，g(x)=2x+1，则f(g(x))=(2x+1)^2。

接下来，我们来看如何求复合函数的导数。根据链式法则，复合函数的导数可以表示为：

(f(g(x)))\' = f\'(g(x)) * g\'(x)

其中，f\'(x)表示函数f(x)的导数，g\'(x)表示函数g(x)的导数。这个公式的意思是，先对g(x)求导，再对f(x)求导，最后将两个导数相乘。

举个例子，假设f(x)=sin(x)，g(x)=x^2，则f(g(x))=sin(x^2)。根据链式法则，我们可以得到：

(f(g(x)))\' = f\'(g(x)) * g\'(x) = cos(x^2) * 2x

因此，sin(x^2)的导数为cos(x^2) * 2x。

需要注意的是，有时候我们需要使用链式法则的多次运用来求导。例如，若f(x)=sin(x)，g(x)=x^2，h(x)=2x，则f(g(h(x)))=sin((2x)^2)=sin(4x)。根据链式法则，我们可以得到：

(f(g(h(x))))\' = f\'(g(h(x))) * g\'(h(x)) * h\'(x)

其中，f\'(x)=cos(x)，g\'(x)=2x，h\'(x)=2。将这些导数代入公式中，我们可以得到：

(f(g(h(x))))\' = cos(4x) * 2x * 2 = 4x * cos(4x)

因此，sin(4x)的导数为4x * cos(4x)。

综上所述，复合函数的求导需要使用链式法则，先对内层函数求导，再对外层函数求导，最后将两个导数相乘。在实际应用中，我们需要根据具体的函数形式来灵活运用链式法则，以求得正确的导数。jiikii.com